III. Konstruktion eines Tests

Welchen Einfluß hat die Wahl der Fehlerschranke α‘ bzw. der Zahl k (beim oben beschriebenen einseitigen Test) auf die Aussagekraft eines Testergebnisses? Dazu stelle man sich vor, daß viele, unbekannte Würfel daraufhin getestet werden, ob sie zu häufig die Sechs liefern.

Je größer nun k gewählt wird, desto kleiner ist der Fehler 1. Art; das heißt, daß man nur sehr selten einen echten Würfel irrtümlicherweise für einen gefälschten hält. Oder, positiv ausgedrückt: Fast jeder als gefälscht gehaltene Würfel ist tatsächlich gefälscht. Erkauft wird diese relative Sicherheit des Urteils durch eine hohe Rate von Würfeln, die nicht als gefälscht erkannt werden, obwohl sie es sind (großer Fehler 2. Art).

Es gibt durchaus reale Situationen, in denen ein solches Testverhalten sinnvoll ist: Betrachtet man ein Gerichtsverfahren als einen Test (Nullhypothese: "Der Angeklagte ist unschuldig."), so ist es gerade wünschenswert, daß eine etwaige Verurteilung des Angeklagten (Die Nullhypothese wird abgelehnt.) nur dann erfolgt, wenn das Gericht sich seiner Sache sehr sicher ist (Der Fehler 1. Art sollte sehr klein sein.). Der Grundsatz "in dubio pro reo" drückt gerade aus, daß wir bereit sind, große Fehler 2. Art hinzunehmen.

Je kleiner k gewählt wird, desto größer wird der Fehler 1. Art, und der Fehler 2. Art wird kleiner. In einem solchen Fall zeigt der Test sehr häufig ein signifikantes Ergebnis: Viele Würfel werden, vielleicht auch irrtümlicherweise, als gefälscht erklärt. In den anderen Fällen aber, wenn der Test kein signifikantes Ergebnis zeigt, sind die Würfel echt oder nur schwach gefälscht (p({6}) = 1/6 +ε).

Ein solches Testverhalten ist zum Beispiel bei einer Krebsvorsorgeuntersuchung (Nullhypothese: "Der Patient ist gesund.") erwünscht: Bei möglichst wenigen Menschen sollte die einfache Vorsorgeuntersuchung eine bereits vorhandene Erkrankung unerkannt lassen. Der hohe Fehler 1. Art (Relativ viele Menschen erhalten die zunächst beunruhigende Nachricht, erkrankt zu sein, obwohl sie es tatsächlich nicht sind.) ist in dieser Situation vertretbar, denn eine nachfolgende genauere Gewebeuntersuchung, die man aus Zeit- und Kostengründen nicht bei allen Testpersonen anwenden will, wird bald für Klarheit sorgen.

Die Fehlerschranke α kann also nicht mathematisch berechnet werden, sondern entscheidend für ihre Wahl ist die Absicht, die mit dem Test verbunden ist.

Abschließend soll die Konstruktion eines Tests anhand eines Beispieles erläutert werden.

Anstatt nun alle Angestelle des Spielkasinos zu verhaften und die Würfel zu beschlagnahmen, um die Personen zu verhören und die Würfel auf mögliche Bleieinlagen zu untersuchen, dieses Vorgehen erscheint angesichts bloßer Verdächtigungen als unangemessen, erwägt der Kommissar, einen Test durchzuführen. Dazu sollen seine Mitarbeitern die Ergebnisse von 50 Würfen eines jeden der zwanzig eingesetzten Würfel notieren, um in Abhängigkeit dieser Ergebnisse zu entscheiden, auf welchen Angestellten des Kasinos und auf welchen Würfel er seine Untersuchungen konzentrieren sollte. In den Fällen a) oder b) (Es liegt ein Vorwissen über die Art der möglichen Fälschung vor.) wählt also der Kommissar eine natürliche Zahl k mit 0 ≤ k ≤ 50 und stellt dann die folgende Entscheidungsregel auf:

Für den Fall a) X ≤ k
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H₀ wird abgelehnt ( = H₁ wird akzeptiert.)

X > k
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